حساب، ریاضی او الجبر

                                                                                                                   
                                                                                               
حساب، ریاضی او الجبر
تسمیه، تاریخ محتوی او اهداف یی
 
 
مقدمه
د ریاضی دتاریخ مطالعه د ریاضی د علم د اکتشافاتو د منشآ په اړه معلومات ترلاسه کول دی او تر یوه کمه حده په تیرو وختونو کی د ریاضیکی طریقو په هکله معلومات حاصلولو هم دی.  د تاریخ په اړه پوهه د مضمون د مبادیو په اړه د پوهی او هم د په زړه پوری معلوماتو له لاری د مضمون په هکله د یو چا، خو په خاصه د معلمانو، مسلکی پوهه ښه کولای شی. ددی لیکنی یو هدف هم دا دی. له بلی خوا زموږ په تعلیمی نظام کی د حساب، ریاضی او الجبر اصطلاحات شته خو کله کله له یو بل سره ګډ استعمالیږی. دد غو اصطلاحاتو او د هغوی  د محتوی او د تسمیی د وجیی په هکله ژوره پوهه به هم له معلمانو سره مرسته وکړی چی د غو مضامینو په هکله یی لید پراخ او تدریس یی ښه شی.


حسابچی په انګلیسی کییی معادله کلمه (Arithmetic) ده، د ریاضی(Mathematics) د علم یوه تر ټولو ساده او تر ټولو پخوانی څانګه ده. د حساب کلمه یوهعربی کلمه ده او د  «شمیر» او «شمیرلو» په معنی ده.د حساب معادله کلمه (Arithmetic) چی اصلآ یونانی کلمه ده د «اعدادو» معنی لری. په عمومی توګه حساب د کمیتونو سره، مخصوصآ د اعدادود  ترکیب عملیی، سروکار لری. د حساب د علم موضوع په تامو او کسری اعدادو د حساب اولیه عملیی (جمع، تفریق، ضرب او تقسیم) بلل کیدای شی.
د حساب کلمه لومړی ځل د محمد بن موسی الخوارزمی لخوا استعمال شوی چید حساب په علم کی لومړنی کتاب د «کتاب الجمع والتفریق بی حساب الهند» په نوم لیکلی (۷۸۰ - ۸۵۰ م کلونو کی). الخوارزمی دغه کتاب د اسلامی فقهی د میراث د قانون د توضیح لپاره لیکلی وو. د حساب ځخه په تجارت، زمیدناری، اندازه ګیریو، مالیاتو او نورو کی ګټه اخستل کیده.
 
د ریاضی تحولات غالبآ د مجرد فکر د توسعی سلسله بلل کیدای شی. لومړنی مجرد تصورشاید اعداد وی، یعنی دا درک چی د دوو مڼو او دوو زردالانو سیټونه یو بل مشترک عنصر لری او هغه د دوی کمیت (دوه) دی. انسانانو له ډیر پخوا څحه د مجسمو شیانو شمیرلو تر څنګ د مجردو شیانو لکه ورځی، فصلونه اوکالونه شمیر ته هم پام وو او په تعقیب یی ابتدایی حساب (جمع، تفریق، ضرب او تقسیم) را منځ ته شول. د اعدادو د ښودنو لپاره نښی یا سمبولونه استعمال شول چی د دغو نښو مکمل سیټ رقمونه بلل کیږی.دا چی حسابول اومحاسبه تر لیکنی زوړ تاریخ لری نو د شیانو د ثبت لپاره تر لیکنی مخکی نور ځه باید شوی وی. رقمونه یا د اعدادو مختلف شکلونه یی یوه بیلګه ده چی پهمختلفو ټولنو کی را منځته شوی وو. د عددی رقمونو شمیر ډیر زیات دی او تر ټولو پخوانی هغه د مصر دی  چی لاندی شکلونه یی لرل.

 
 
لکه چی په د اعدادو په پورته نښو کی وینو نور رقمونه هم داسی وو چی د اعدادو د اوسنی مروج اعشار سیستم برعکس د هر عدد لپاره یی یوه نښه درلوده او نور اعداد پکی د یوه مشخص عدد ( مثلآ  دلسو په قاعده) نشو ښودل کیدای.
اوسنی رقمونه (1، 2، 3 ، 4، 5، 6، 7، 8، 9) چه په ټوله نړی کی استعمالیږی د عربی رقمونو په نوم شهرت لری. داسی ویل کیږی چی دغه شکلونه لومړی څل په هندوستان را منڅ ته شوی وو چی وروسته د مسلمانو پوهانو په خاصه د محمد بن موسی الخوارزمی[1] د لیکنو او توسعی له لاری نوری نړی، په خاصه د اروپا وچی، ته د ترجمه شویو اثارو له لاری ور معرفی شوی دی. هندی اعداد د لسو په قاعده وو( چی اعشار سیستم یی هم بولی) او د نهو نښو چی وروسته بیا د صفر د نښی په ورزیاتیدو سره لس شوی، د اعدادو ښودنه کوی. مسلمانو پوهانو د هندی ریاضی په مطالعی او توسعه کولو سره په دغو نښو باندی د صفر ( 0) د نښی په ورزیاتولو سره دغه رقمونه بشړ کړل چی پدی ترتیب سره د (10) د نښی په استعمال سره د لسګونو او نورو لویو اعدادو لیکل هم ممکن شول.  مسلمانو پوهانو په عدد کی د رقمونو د مقامی قیمت تصور هم توضیح او د هند ریاضی یی نوره هم د استعمال وړ او پراخه کړه چیپدی ترتیب دغټو اعدادو ځلورګونی عملیی هم ممکنی شوی او د حساب د علم د توسعی اساسی سبب شوی دی. د هندی عربی اعدادو دغه سیستم د نورو سره دا تفاوت درلود چی د رقم د څای په تغییر سره د دغو نښو په مرسته مختلف اعداد ښودل کیدای شی، مثلآ ۱۲۳، ۱۳۲، ۳۲۱، او نور.
 
ریاضی یوه عربی کلمه ده او د انګلیسی ژبی د (Mathematics)،  چی په اصل کی پخپله هم یوه یونانی کلمه ده، معادله استعمالیږی. ځینی وایی چی دریاضی د کلیمی اصل د عربی ژبی د «روض» یعنی سپورت یا ورزش کلمه ده، چی د مجرد تفکر له وجی شاید د ذهنی ورزش په معنی د ریاضی دعلم لپاره استعمال شوی وی. بله انګیرنه دا ده چی ریاضی له «ریاضت» څخه، چی د ګوشه نشینی، یا په عامیانه اصطلاح د «خلوت ناستی» معنی لری، به اخستل شوی وی.پدی ډول ریاضت پخپله ذهنی او مجرد تفکر او زحمت ګالل ایجابوی. د ریاضت اهداف له مجسمو شیانو څخه د لریوالی له لاری د «معنی»پیداکول او معنی باندی  پوهیدلوی او ذکر، چی یوه ذهنی عملیه ده، یی مهمه لاره وی. څنګه چی د ریاضی علم تر ډیره حده د مجردو مفاهیمو سره سروکار لری او تر ډیره حده یو ذهنی او مجرد فعالیت وی، نو څکه شاید د اسلامی تمدن د عروج په دورو کی مسلمانو ریاضی پوهانو د دی علم یعنی  Mathematics لپاره د «ریاضی» کلمه استعمال کړی وی[2].
په لاتینی او انګلیسی کی د Mathematics کلمه بیا تر ۱۷۰۰ کال  پوری ستور پیژندنی او د نجوم علم او پال لیدنی  ته منسوبیده او تیماتیک دانان به حتی د مذهبی حلقو لخوا بد خلک بلل کیدل.
 
متیماتیک(Mathematics)، چی په پاته بحث کی به یی ریاضی بولو، لغوی معنی یی په یونانی ژبه کی  پوهه، مطالعه او زده کړه وه، د شیانو مجرده (ذهنی) مطالعه ده چی کمیت، جوړښت، خلا، تغییر او نور پکی شامیلیږی. د عینی شیانو د حسابولو، شمیرلو او اندازه ګیریو لپاره د تجرد او منطقی استدلال څخه د داستفادی له لاری د ریاضی علم رامنځته او پرمختګ یی وکړ.
 
ریاضی پوهان په شیانو او پدیدو کی نښی او علایم لټوی او نوی اصول(axioms)وضع کوی چید دغو ادعاوو یا اصولو «صحت» او«نه صحت» یا په بل عبارت «منل یا ردول»بیا د ریاضیکی ثبوت په مرسته پیدا کوی.ریاضی د مادی جهان د تحلیلی او په هغه باندی د پوهیدلو یوه ډیره قوی وسیله ده. ریاضیکی څیړنی له مناسبو اصولو او تعریفونو څخه د دقیقو قیاسونو په مرسته ریښتینی پوهه لاسته راوړی. که دغه ریاضیکی جوړښتونهد حقیقی پدیدو (په ریښتینی ژوند کی) ښی نمونی وی، ڼو بیا دغه ریاضیکی استدلال د طبیعت په برخه کی معمولآ ښه رڼا اچولای شی.
د ریاضی علم د شمیر او ساده حساب، اندازه کولو، فیزیکی اجسامو د شکلونو او حرکتونو د منظمی مطالعی لپاره د تجرد او منطقی استدلال ځخه د استفادی په مرسته وده کړی او را منځته شوی ده. لاسته راغلی لیکلی تاریخ دا ښه یی چی عملی ریاضی لا له ډیر پخوا څخه د بشر یو عادی فعالیت وو. دقیق ریاضیکی استدلال د یونانی ریاضی، په خاصه د اقلیدسد عناصرو له را منځته کیدو ورووسته وده وکړه.
د ریاضی علم د رینیسانس (په اروپا کی د کلتوری تجدد عصر- ۱۴-۱۷ میلادی پیړی) تر وخته پوری ډیره ورو وده کړی وه اما تر هغه وروسته د نویو ساینسی اکتشافاتو سره د ریاضی نوښتونو هم زیات او سریع پرمختګ وکړ.
 
ریاضی تاریخ ته په کتو دا څرګندیږی چی د مځکی پر مخ  هلته  چی بشری تجمع زیاته وه، هلته د ریاضی علم او په خاصه د عملی ریاضی لومړنی څرک ښکاری. مثلا  (د تاریخ په ترتیب سره ) د اوسنی عراق د بین النهرین (د دجلی او فراتد سندونو تر منځ د بابل (سومریانو) ریاضی، د نیل د سند په غاړه د مصریانو ریاضی، د یونان ریاضی (چی هلته هم د مناسبی آب او هوا له برکته بشری پرمختګ له پخوا څخ شروع شوی وو)، چینایی ریاضی (چه له نورو سره متمایز او څانګړی ښکاری)،  د هنداو سند ریاضی ( د آباسند د حوزی په شاوخوا کی)او بالاخره د اسلامی دور ریاضی. که فکر وکړو، یوازی د اسلامی دور د ریاضی په استثنا، داسی  ښکاری چی د ریاضی د علم د ودی عوامل فلسفی نه بلکه بشری اړتیاوی وی.
تر ټولو پخوا په بابل کی سومریانو په ریاضی کی د ضرب جدولونه لیکلی، هندسی تمرینونه یی کول او د تقسیم مسایل یی تر سره کول. د بابل ریاضی د ۶۰ د قاعدی د اعدادو  په سیستم لیکی کیده. په معاصره زمانه کی دساعت، دقیقی،ثانیو او درجی او نورو لپاره د اجزا او اضعافو د ۶۰ مقدار شاید له دغه څایه سرچینه ولری.
 
 د اسلام د عروج په دور کی مسلمانو عالمانو ریاضی ته ډیر ستر خدمتونه کړی دی، چی معاصره نړی یی هم منی. مسلمانو پوهانو نه یوازی د ریاضی علم ته عملی بڼه ورکړه، پراخ یی کړ بلکه د ددی علم زړه پانګه یا په بل عبارت مړه شوی پوهه یی را ژندی کړه، پراخه یی کړه، علمی یی کړه، اصلاح یی کړه او په ژوندیو ژبو یی وژباړله چی د اوسنی عصر پرمختګ  هم ددوی مرهون دی.
ریاضی کوم جامع تعریف نلری. خو له مختلفو اړخونو څخه مختلف توجیحات ورکړل شوی وی. ارستو متیماتیک د «کمیتوتو سانی با علم » بللی وو. ګالیلی (۱۵۶۴–۱۶۴۲ م) وایی چی کاینات تر هغو نشو لوستلای چی هغه ژبه او د هغی مشخصات چی هغه ورباندی لیکل شوی، زده نه کړو او  هغه د ریاضی ژبه ده چی الفبا یی  مثلث، دایره او نور هندسی اشکال دی.
ګاوس (۱۷۷۷ـ۱۸۵۵م) ریاضی بیا «د ساینس ملکه » بولی.انشتاین (1879–1955) یی بیا یو ډیر خیالی، له حقیقی ژوند ځخه لری یو تخیلی  او غیر مطمیناستدلال بولی او وایی «تر هغه څایه چی د ریاضی قوانین واقیعیت ته راجع وی مطمین نه وی او کله چی مطمین شی نو واقیعیت ته  نه راجع کیږی».
همدا راز کله کله د ریاضی په قیاسی اړخ تآکید کییږی، یعنی د قیاس علم یی بولی، خو کله بیا در یاضی د تجرد په مشخصاتو باندی تمرکز کیږی.
 
ریاضی د نورو علومو لپاره د یوی ډیر مهمی او اساسی وسیلی په توکه پکاریږی لکه طبعی علوم. انجینیری، طب او اجتماعی علوم. عملی ریاضی د ریاضی هغی څانګی ته ویل کیږی چی د علومو په نورو ساحو کی د ریاضیکی پوهی څحه د ګټی اخستنی په اړه وی او پدی ترتیب نوی ریاضیکی اکتشافات را منڅته شول لکه، احصاییه، د لوبو تیویری او نور.
 ریاضی همدا راز د داسی مسایلو په اړه هم وی چی د عملی کولو کوم خاص موارد نلری یا په بل عبارت خاصه ریاضی یوازی د ریاضی لپاره وی.
په غوټه کی کیدای شی د ریاضی علم  د کمیت، جوړښت (ترکیب)، هندسی ، تحلیل او تغییر په فرعی برخو وویشی چی له حساب، الجبر، هندسی او تحلیل له ساحو څخه عبارت دی.
د کمیت او پدی ترتیب د حساب اساسی مفاهیم  طبعی (د شمیر)، تام، نسبتی( ناطق)، حقیقی او مبهم (مغلق) اعداد دی چی مثالونه یی لاندی وینی.
 

 
 
د الجبر کلمه د لومړی څل لپاره د محمد بن موسی الخوارزمی لخواه وکاریده‎ (تولد ۷۸۰ م مړینه ۸۵۰ م کال).
الخوارزمی  د بغداد د دارالخلافی په «بیت الحکمه» کی یو عالم او ریاضی پوه وو. محمد بن موسی الخوارزمی د«ا لكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابله» د ۸۳۰ م کال شاوخوا ، په نوم لومړنی کتاب ولیکه چی د الجبر د علم او نوم بنیاد یی کیښوود او له هغه څایه د الجبر اوسنی کلمه او لوګارتم، الګوریتم او نو ر مفاهیم د هغه له نوم او کتاب سره تړلی دی چه په ټوله نړی کی په ټولوژبو کی یی هغه د الجبر نوم ورکړل شوی دی او تر اوسه استعمالیږی. الخوارزمی د لومړی درجی خطی او دو همی درجی معادلو د حل سیستماتیکی طریقی معرفی کړی او له دغه څایه د الجبر اصطلاح او د الجیر د علم د اکتشافاتو بنیاد کیښوود.  د«الجبر» د کلیمی معنی د «تکمیلول» یا « د معادلی له دواړو خواوو عین شی کمول »، او د «ولمقابله » معنی « توزین» دی چی پدی ترتیب د «الجبر والمقابله» معنی «تکمیل او توزین» کیږی. د «الچبر» د کلیمی بل تعبیر د « د جبیره» یا «پټی» کول هم کیدای چی بیا هم د «د ناقص تکمیل»معنی لری. په بله اصلاح  الخوارزمی د د دوهمی درجی د پولینومونو د حل لپاره د معادلی له دواړو خواوو ځخه د عین شی د امحا او د توزین طریقه معرفی کړه. 
د خطی او دوهمی درجی معادلو لپاره الخوارزمی طریقه داسیده چی د لاندی په شان  لومړی معادله یو له شپږو معیاری شکلونو ته را کمیږی. د لاندیشکل  په شان (چیری چیa او b  مثبت تام عدودنه دی)د مربع د ضریب له تجزیه  کولو او د دوو الجبری عملیو « اعاده او تکمیل» او بیا د «توزین یا مقابله او مقایسه کولو » په مرسته  به هره معادله حل کیږی.

• مربعوی له جذرونو سره مساوی   (ax2 = bx)
• مربعوی له عدد سره مساوی دی  (ax2 = c)
• جذرونه له عدد سره مساوی دی (bx = c)
•  مربعوی اوجذرونهله عدد سره مساوی دی  (ax2 + bx = c)
• مربعوی او عدد له جذرونو سره مساوی  دی (ax2 + c = bx)
• جذرونه او عدد له مربعوو سره مساوی  دی (bx + c = ax2)

د الخوارزمی په قول « که یو ځوک تاته ووایی  چی لس دوه برخی کړه، هغه په خپل څان کی ضرب کړه، هغه به د هغه بل له یو اتیا واری سره مساوی وی.». محاسبه: ته وایی  له لسو یو شی کم شوی، پخپل څان کی ضرب  شوی د هغه شی د مربع او سل او شل واری هغه شی ‎ورځخه  کم شوی سره برابر دی، او دغه له یواتیا واری د هغه شی سره برابر دی. هغه شل شیان له سلو او  مربع څخه جلا کړه او هغه بیا یواتیا شیانو ته ورجمع کړه. دا به بیا له سل جمع یی یوه مربع سره مساوی شی، کوم چی له سل او یو جذررونو سره مساوی کیږی. جذرونه دوه برخی کړه ، یوه برخه  یی پنڅوس او نیم کیږی. دغه بیا په خپل څان کی ضرب کړه، دغه دوه زره پنڅه سوه او پنڅوس او یوه ربع کیږی.. له دغه ځخه سل کم کړه هغه باقی دوه زره ځلورسوه او پنڅوس او یوه ربع کیږی. له دغو ځخه جذر وباسه دغه  نه ځلویښت او نیم کیږی. دغه د جذرونو د دوو برخو له یوی ځخه کم کړه، کوم چی پنڅوس او نیمایی دی. نو یو باقی پاته کیږی او دغه یو له دوو برخو(د لسو)  ځخه ده».
 
د معاصرطرز تفکر سره سم دغه د \'x\' «شی» یا جذر پروسه لاندی معنی لری:



که د معادلی جذرونه  \'p\' او \'q\' وی نو ,  او

پس یو جذر به:

الخوارزمی دغه معادلات په کلیمو او عباراتو ، بیله دی چی سمبولونه او نښی استعمال کړی حل کړی وی.
 نو د الخوارزمی «الحبر» د یوی معادلی دواړو طرفونو ته د عین کمیت د ور جمع کولو له لاری د منفی واحدونو، مربعو او جذرونو د رفع کولو  له  پروسی ځخه عبارت دی. مثلآ  x2 = 40x − 4x2د 5x2 = 40xشکل ته را لنډیږی.
د «المقابله»  د معادلی یوه طرف ته د مشابه کمیتونو را وړلو پروسی ته ویل کیږی، مثلآ   x2 + 14 = x + 5  د x2 + 9 = x
شکل ته را ټیتیږی.
 
همدا راز الخوارزمی د جغرافیی د علم لپاره لومړنی د « کتاب صوره الارض» یعنی جغرافیه په نوم کتاب لیکلی وو.  
د الګوریتم کلمه چی اصلآ د الخوارزمی د نوم هسپانوی شکل دی خو هسپانوی معنی یی «د حساب طریقی» دی، یعنی هغه د حسابولو طریقی چی الخوارزمی پکارولی دی.
 
پدی هیله چی پورته معلومات به د قدرمنو معلمانو لپاره په زړه پوری معلومات وړاندی کړی او د دوی علمی تنده ورباندی ماته شوی وی، اوسنی لیکنه پای ته رسوم.
که د لوی الله رضا وه او وخت را سره یاری وکړه، په پاته پاڼو کی به د ریاضی د تدریس، ریاضیکی عجایبو او د ریاضیکی مفاهیمو د مجسم کولو یو شمیر مثالونه،  ریاضی د تدریس اغیزمنی لاری او یو شمیر مربوط مفاهیم درته وړاندی کړو.
 

[1]الخوارزمی د حساب د علم د توسعی تر ځنګ د الجبر د علم او اصطلاح او د حسابی مسایلو د حل سیستیماتیکو لارو  بانی هم دی جی مشهور کتاب یی  «الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابله» ده. د نور معلومات لپاره  د دی بحث د الجبر برخه وګوری.
[2]د ریاضی د تسمیی په اړه ما کوم علمی اثر ندی لیدلی او یوازی د اشتقاق علم ، بریښنایی پاڼی او خپل تعبیر می اساسی مآخذونه دی. د ا هم نه ده را ته معلومه چی د لومړی ځل لپاره د چا لخوا اوکله د ریاضی اصطلاح د دی علم لپاره کارول شوی وه.